線性代數方程組

在本出版物中，我們將考慮線性代數方程組 (SLAE) 的定義、它的外觀、有哪些類型，以及如何以矩陣形式（包括擴展形式）表示它。

線性方程組的定義

線性代數方程組 （或簡稱“SLAU”）是一個通常看起來像這樣的系統：

• m 是方程的數量；
• n 是變量的數量。
• x₁， X₂，…， X_n – 未知；
• a₁₁,₁₂…， 一個_mn – 未知數的係數；
• b₁，b₂，……，乙_m – 免費會員。

係數指數 (a_ij) 形成如下：

• i 是線性方程的個數；
• j 是係數所指的變量的數量。

SLAU解決方案 – 這樣的數字 c₁，C₂，…， C_n , 在其中而不是 x₁， X₂，…， X_n，系統的所有方程都將變成恆等式。

SLAU的類型

1. 同質 – 系統的所有自由成員都等於零（b₁ = 乙₂ = … = b_m = 0).

   

2. 異質 – 如果不滿足上述條件。
3. 方形 – 方程的數量等於未知數的數量，即 米=n.

   

4. 未定 – 未知數的數量大於方程的數量。

   

5. 被覆蓋 方程多於變量。

   

根據解決方案的數量，SLAE 可以是：

1. 聯合 至少有一個解決方案。 此外，如果系統是唯一的，則稱為定係統，如果有多個解，則稱為不定係統。

   

   上面的 SLAE 是聯合的，因為至少有一個解決方案： X = 2, y = 3.

2. 不相容 系統沒有解決方案。

   

   等式的右邊是相同的，但左邊不是。 因此，沒有解決方案。

系統的矩陣表示法

SLAE 可以用矩陣形式表示：

AX=B

• A 是由未知數的係數形成的矩陣：

  

• X – 變量列：

  

• B – 免費會員欄：

  

例

我們以矩陣形式表示以下方程組：

使用上面的形式，我們組成了帶有係數的主矩陣、具有未知成員的列和自由成員。

以矩陣形式完整記錄給定方程組：

擴展的 SLAE 矩陣

如果對系統的矩陣 A 右側添加免費會員欄 B，用豎線分隔數據，得到 SLAE 的擴展矩陣。

對於上面的示例，它看起來像這樣：

– 擴展矩陣的指定。