費馬小定理

在本出版物中，我們將考慮整數理論中的主要定理之一——  費馬小定理以法國數學家皮埃爾·德·費馬命名。 我們還將分析解決問題的示例以鞏固所提供的材料。

定理陳述

1.初始

If p 是素數 a 是一個不能被整除的整數 p然後 a^對1 - 1 除以 p.

正式寫成這樣： a^對1 ≥ 1 （反對 p).

注意： 素數是一個自然數，只能被 XNUMX 和自身整除，沒有餘數。

例如：

• a = 2
• p = 5
• a^對1 - 1 = 2^{5 – 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• 數 15 除以 5 沒有餘數。

2.替代

If p 是一個素數， a 任何整數，那麼 a^p 相當於 a 模 p.

a^p ≡ 一個 （反對 p)

尋找證據的歷史

皮埃爾·德·費馬在 1640 年提出了這個定理，但自己沒有證明。 後來，這是由德國哲學家、邏輯學家、數學家等戈特弗里德威廉萊布尼茨完成的。據信，他在 1683 年就已經有了證明，儘管它從未發表過。 值得注意的是，萊布尼茨自己發現了這個定理，並不知道它早已經被制定了。

該定理的第一個證明發表於 1736 年，屬於瑞士、德國、數學家和機械師萊昂哈德·歐拉 (Leonhard Euler)。費馬小定理是歐拉定理的特殊情況。

問題示例

找出一個數的餘數 2¹² on 12.

解決方案

讓我們想像一個數字 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 是素數，因此，根據費馬小定理，我們得到：

2¹¹ ≥ 2 （反對 11).

因此， 2⋅2¹¹ ≥ 4 （反對 11).

所以數 2¹² 除以 12 餘數等於 4.