在本出版物中，我們將考慮矩陣秩的定義以及可以找到它的方法。 我們還將分析示例以展示理論在實踐中的應用。
確定矩陣的秩
矩陣秩 是其行或列系統的等級。 任何矩陣都有其行秩和列秩，它們彼此相等。
行系統等級 是線性獨立行的最大數量。 列系統的排名以類似的方式確定。
筆記：
- 零矩陣的秩（用符號“θ") 任何大小都是零。
- 任何非零行向量或列向量的秩都等於 XNUMX。
- 如果任意大小的矩陣包含至少一個不等於 XNUMX 的元素，則其秩不小於 XNUMX。
- 一個矩陣的秩不大於它的最小維數。
- 對矩陣執行的基本變換不會改變其秩。
求矩陣的秩
邊緣小方法
一個矩陣的秩等於一個非零的最大階數。
算法如下： 從最低的順序到最高的順序找到未成年人。 如果輕微 nth 階不等於 XNUMX，並且所有後續 (n+1) 等於 0，所以矩陣的秩為 n.
例
為了更清楚，我們舉一個實際的例子，求矩陣的秩 A 下面，採用接壤未成年人的方法。
解決方案
我們正在處理一個 4 × 4 的矩陣，因此它的秩不能高於 4。此外，矩陣中有非零元素，這意味著它的秩不小於 XNUMX。 那麼讓我們開始吧：
1.開始檢查 二級未成年人. 首先，我們取第一列和第二列的兩行。
次要等於零。
因此，我們繼續下一個小調（第一列保留，而不是第二列，我們取第三列）。
次要是54≠0，所以矩陣的秩至少是XNUMX。
注意： 如果這個次要結果等於 XNUMX，我們將進一步檢查以下組合：
如果需要，可以使用字符串以相同的方式繼續枚舉：
- 1和3；
- 1和4；
- 2和3；
- 2和4；
- 3和4。
如果所有二階小數都等於 XNUMX，則矩陣的秩將等於 XNUMX。
2. 我們幾乎立刻就找到了適合我們的未成年人。 所以讓我們繼續 三階未成年人.
對於得到非零結果的二階次要，我們添加一行和一列以綠色突出顯示（我們從第二個開始）。
未成年人原來是零。
因此，我們將第二列改為第四列。 在第二次嘗試中，我們設法找到一個不等於 3 的小數，這意味著矩陣的秩不能小於 XNUMX。
注意： 如果結果再次為零，而不是第二行，我們將繼續第四行並繼續搜索“好”未成年人。
3. 現在還有待確定 四階未成年人 根據之前的發現。 在這種情況下，它與矩陣的行列式匹配。
次要等於 144≠0。 這意味著矩陣的秩 A 等於 4。
將矩陣簡化為階梯形式
一個階躍矩陣的秩等於它的非零行數。 也就是說，我們需要做的就是將矩陣帶入適當的形式，例如，使用 ，正如我們上面提到的那樣，它不會改變它的等級。
例
求矩陣的秩 B 以下。 我們不舉一個過於復雜的例子，因為我們的主要目標只是演示該方法在實踐中的應用。
解決方案
1.首先，從第二行減去加倍的第一個。
2. 現在從第三行減去第一行，乘以四。
因此，我們得到了一個步進矩陣，其中非零行數等於 2，因此它的秩也等於 XNUMX。